Volver a Guía

CURSO RELACIONADO

Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰

Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

Anterior Siguiente
3. Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones
a) f(x)=x2e−xf(x)=x^{2} e^{-x}

Respuesta

Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x) vamos a seguir los pasos que vimos en clase.

1) Identificamos el dominio de f(x)f(x)

El dominio de ff es R\mathbb{R}.

2) Derivamos f(x)f(x)

f′(x)=2xe−x−x2e−x f'(x) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x}

3) Igualamos f′(x) f'(x) a cero

2xe−x−x2e−x=02x e^{-x} - x^2 e^{-x} = 0

Saco factor común x⋅e−xx \cdot e^{-x}

xe−x(2−x)=0 x e^{-x} (2 - x) = 0

Tres cosas multiplicándose que nos está dando cero, pero acordate que la exponencial nunca puede valer cero. Así que esta multiplicación puede dar cero si x=0x =0 y si 2−x=02-x = 0, o lo que es equivalente, x=2x=2.

Por lo tanto, ff tiene puntos críticos en x=0x=0 y x=2x=2

4) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′(x)f'(x) es continua y no tiene raíces:

a) (−∞,0) (-\infty, 0) b) (0,2) (0, 2) c) (2,+∞) (2, +\infty)

5) Evaluamos el signo de f′(x) f'(x)  

En (−∞,0)⇒f′(x)<0→ (-\infty, 0) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow Por lo tanto f f es decreciente En (0,2)⇒f′(x)>0→ (0, 2) \Rightarrow f'(x) > 0 \rightarrow Por lo tanto f f es creciente En (2,+∞)⇒f′(x)<0→ (2, +\infty) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow Por lo tanto f f es decreciente

Entonces, recapitulando:

Intervalo de crecimiento: (0,2)(0,2)
Intervalo de decrecimiento: (−∞,0)∪(2,+∞)(-\infty, 0) \cup (2,+\infty)
Reportar problema
ExaComunidad
Iniciá sesión o Registrate para dejar tu comentario.